设二阶系统的闭环传递函数
\[Φ(s) = \frac{ω_n^2}{s^2+2ζω_n+ω_n^2}\]其闭环极点
\[s_{1,2} = -ζω_n±\mathrm{j}\,ω_n\sqrt{1-ζ^2} = -σ±\mathrm{j}\,ω_d\]其单位阶跃响应
\[h(t)=1-\frac{1}{1-ζ^2}\,\mathrm{e}^\frac{-π ζ}{\sqrt{1-ζ^2}}\sin(ω_nt \sqrt{1-ζ^2 }+θ)\]其中，$θ$ 被称为阻尼角，且有 $ζ=\cos θ$，因此可将上式简记为
\begin{equation} h(t)=1-\frac{\sin(ω_dt+θ)}{\sin θ }\mathrm{e}^{-σt}\label{ht} \end{equation}
一、性能指标
对于二阶欠阻尼系统，即 $ζ\in (0,1)$，主要有四项性能指标。
上升时间 $t_r$
定义：$t_r=\min t$ 且 $h(t)=1$。
由式 \eqref{ht} 可知
\[\sin(ω_dt_r+θ)=0\Longrightarrow ω_dt_r+θ=\pi\Longrightarrow t_r=\frac{\pi-θ}{ω_d}\]峰值时间 $t_p$
定义：$h(t_p)=\max h(t)$。
令 $\frac{\mathrm{d}\, h(t)}{\mathrm{d}\,t}=0$，由式 \eqref{ht} 可知
\[\sin(ω_dt_p)=0\Longrightarrow ω_dt_p=\pi\Longrightarrow t_p=\frac{\pi}{ω_d}\]超调量 $M_p$
定义：$M_p=\frac{h(t_p)-h(\infty)}{h(\infty)}\times 100\%$。
将 $t_p=\frac{\pi}{ω_d}$ 代入式 \eqref{ht} 可得
\[M_p=\mathrm{e}^{-σ t_p}\]调节时间 $t_s$
定义：$\forall\, t>t_s$ 且误差范围满足 $\left|\,h(t)-h(\infty)\,\vphantom{\dfrac{1}{2}}\right|<\Delta=2\%$ 或 $5\%$$。
由于 $\sin(ω_dt+θ)$ 有界，因此
\[\Delta\leq\dfrac{1}{\sin θ }\mathrm{e}^{-σt}<\mathrm{e}^{-σt}\]姑且考虑 $\sin θ = 1$，可以得到
\[t_s=\dfrac{4}{\sigma}\,(\Delta=2\%)\text{ 或 }\dfrac{3}{\sigma}\,(\Delta=5\%)\]二、闭环极点的位置
$ζ$ 与 $ω_n$ 决定了极点在复平面的位置。将极点投影在坐标轴上，可以得到一个直角三角形 $(σ,ω_d,ω_n)$。
- $t_p=\dfrac{\pi}{ω_d}$，即 $t_p$ 与 $ω_d$ 负相关；
- $M_p=\mathrm{e}^{-\pi\cot\theta}$，即 $M_p$ 与 $\theta$ 正相关，与 $ζ$ 负相关；
- $t_s=\dfrac{3\text{ 或 }4}{\sigma}$，即 $t_s$ 与 $\sigma$ 负相关。
三、线性系统的齐次性与叠加性
很多人都能将叠加原理运用自如，但很少有人注意到线性系统的另一个性质 —— 齐次性：
线性系统对输入信号导数的响应等于输入信号响应的导数；
线性系统对输入信号积分的响应等于输入信号响应的积分。
对于二阶系统的单位脉冲响应 $g(t)$，由于脉冲信号 $σ(t)$ 是阶跃信号 $1(t)$ 的导数。因此，$g(t)$ 也应该是 $h(t)$ 的导数。即：
\[g(t)=\mathscr{L}^{-1}[Φ(s)]=\frac{\mathrm{d}\,h(t)}{\mathrm{d}\,t}=ω_n\frac{\sin(ω_dt)}{\sin θ }\mathrm{e}^{-σt}\]正由于线性系统具有齐次性与叠加性，因而讨论其性能时只需研究单位阶跃响应即可。
四、闭环系统的稳定性
1、强迫响应与自由响应
对于线性系统，众所周知：
强迫响应由激励决定，自由响应由系统自身的结构与参数决定。全响应为二者的叠加。
